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Matemática

La creatividad en el caos

Un premio concedido a un investigador brasileño revela éxitos en la construcción de una teoría innovadora referente a los sistemas dinámicos

ROBBY A. BERRY / GERHARD WESPEl reciente premio al matemático luso-brasileño Marcelo Viana, 45 años, puso en evidencia la excelencia de la investigación científica realizada en el país en el área de los sistemas dinámicos, rama de la matemática que estudia los tipos de fenómenos que evolucionan en el tiempo, tales como el clima, las reacciones químicas, los sistemas planetarios y los ecosistemas. Viana fue galardonado con el premio Universidad de Coimbra, honor atribuido anualmente a personalidades que hayan realizado aportes innovadores en las áreas de ciencia y cultura. Investigador y director adjunto del Instituto de Matemática Pura y Aplicada (Impa), de Río de Janeiro, Viana representa a un grupo de matemáticos en actividad en el país que intentan formular un abordaje global acerca del comportamiento general de los sistemas dinámicos. Y cuentan con una lista de buenos resultados. “La teoría se está construyendo. Ya hubo una tentativa anterior en los años 1960, pero ahora poseemos un punto de vista renovador, que estamos intentando comprobar. Es un proyecto colectivo a largo plazo”, afirma Viana.

Los sistemas dinámicos representan un área relativamente nueva de las matemáticas, con alrededor de cien años. Surgieron con la ambición por resolver problemas relacionados con la astronomía y la mecánica celeste, intentando evaluar el comportamiento futuro de los planetas del sistema solar para prever si chocarían unos con otros. Sucede que, en las últimas décadas, un número cada vez mayor de fenómenos comenzó a considerarse como sistema dinámico complejo. “Asoman grupos interdisciplinarios que estudian los sistemas dinámicos en diversas áreas del conocimiento y tanto los matemáticos como los físicos están realizando contribuciones importantes”, dice Carmen Prado, profesora del Instituto de Física de la Universidad de São Paulo (USP), una de las autoras del libro “Caos, una introducción” (Editora Edgard Blücher, 1994).

Una aplicación clásica de esos sistemas se da en la comprensión de lo que puede suceder cuando dos especies animales o vegetales compiten. Tómese como ejemplo un ambiente compartido por zorros y liebres. Si el número de zorros se duplica, ¿que sucederá con sus presas? Si el sistema funcionase en forma lineal, las liebres desaparecerían. Ocurre que se trata de un sistema dinámico no-lineal. Los resultados pueden suceder a la inversa de lo esperado – en un primer momento las liebres padecen, pero, a mediano plazo, faltará alimento para los zorros y ellos podrían morir de hambre, dejando espacio libre para que las pocas liebres remanentes repueblen el ambiente. Otra posibilidad, es la sucesión de ciclos en los que, ora una especie avanza, ora la otra domina. Las ecuaciones de los sistemas dinámicos buscan prever el destino o los destinos más probables, denominados conceptualmente como “atractores”.

Efecto mariposa
En el caso de los sistemas dinámicos denominados como caóticos, la dificultad para trazar previsiones es bastante mayor, e inherente a las propiedades matemáticas de las ecuaciones que describen su dinámica. Uno de los problemas principales consiste en establecer variables con exactitud. Como ninguna cosa muy grande puede medirse con precisión infinita, cualquier pequeño error se amplifica con el tiempo y torna a la previsión en errónea. Ese fenómeno produce lo que se acordó en denominar como efecto mariposa: una pequeña perturbación inicial (una mariposa bate las alas en el Hemisferio Sur) se multiplica y acumula, alterando completamente el resultado final (provocando una tempestad en China). El trabajo del grupo del Inpa busca comprender la evolución de los sistemas dinámicos haciendo previsiones estadísticas y evaluando si la posibilidad de error es importante o despreciable. “Realizando una comparación bastante simplista, nunca sabemos si una moneda arrojada hacia lo alto caerá con la cara o con la corona. Pero podemos afirmar con mucha certeza que, si arrojamos monedas hacia lo alto un millón de veces, entre el 49% al 51% serán cara y el resto, corona”, explica Marcelo Viana.

Nacido en Río de Janeiro, hijo de padres portugueses, Viana se graduó como matemático en la Universidad de Porto. De regreso en Brasil, realizó el doctorado en el Impa y pos-doctorados en las universidades Princeton y de California, en Estados Unidos. Entre sus principales contribuciones, puede destacarse un artículo publicado en 2005 en la revista Acta Matemática, en colaboración con Artur Avila, investigador del Impa/CNRS, demostrando una conjetura propuesta a inicios de los años 1990 por los matemáticos rusos Anton Zorich y Maxim Kontsevich. Realizó investigaciones, incluyendo su tesis de doctorado, acerca de los denominados atractores extraños, zonas geométricas con formas esdrújulas descritas en la década de 1960 por el meteorólogo norteamericano Edward Lorenz, las cuales ilustran los descubrimientos de los sistemas caóticos. Uno de esos artículos, publicado en 1999 en la revista Inventiones Mathematicae, en colaboración con el matemático sueco Michael Benedicks, propone una solución para un problema presentado por el ruso Yakov Sinai y el francés David Ruelle acerca del tipo de atractores extraños que habían sido propuestos por el astrónomo francés Michel Hénon.

Pero, para entender la dimensión del trabajo de Viana, es preciso compararlo con el trabajo de investigación realizado por el Impa, cuyo modelos científico y el ambiente intelectual se comparan con los de las mejores instituciones del mundo. “El instituto es una referencia obligatoria en cuanto se refiere a sistemas dinámicos. Todo científico del área conoce la importancia del Impa”, afirma Eduardo Colli, profesor del Instituto de Matemática y Estadística (IME), de la USP. La semilla fue plantada en los años 1960 por el matemático Maurício Peixoto, quien hoy cuenta con 86 años, pionero en cuanto a sistemas dinámicos en el país. Peixoto estableció una cooperación con el norteamericano Stephen Smale, de la Universidad de Michigan, un gran estudioso del tema, que hasta hoy sigue dando resultados en Brasil.

Smale pasó seis meses trabajando en el Impa y se erigiría en orientador de destacados nombres de la matemática brasileña, como el premiado Jacob Palis Jr. y Cesar Camacho, el actual director del Impa. Esa segunda generación de investigadores inició en los años 1990 la tentativa por formular un abordaje global para el comportamiento de los sistemas dinámicos. Se formularon diversas conjeturas, por parte de Palis, y matemáticos de la institución se abocaron a su estudio con la ambición de comprobarlas. Ya han obtenido avances en varios frentes, y los trabajos de Viana, quien tuvo a Palis como orientador en su doctorado, son un reflejo de ello. Pero, como dice el investigador, se trata de un proyecto colectivo.

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